Il problema della scala musicale

Le difficoltà della creazione di un sistema organico
Un'introduzione al sistema temperato
Una misura precisa dell'altezza, la scala dei cent
Conclusione
Bibliografia

Le difficoltà della creazione di un sistema organico

Grandissima parte della musica classica e leggera attuale si basa sul concetto della scala cromatica, ovvero sull'insieme di regole che stanno per esempio dietro all'accordatura di un pianoforte o di una chitarra. Ci proponiamo qui di dare qualche nozione circa gli usi e le convenzioni che sono utilizzate nella convenzione musicale corrente. Il problema non è per nulla semplice: le scale sono sostanzialmente basate su delle convenzioni. Vi è stato un gran numero di sforzi nella storia della musica per codificare in un sistema sufficientemente flessibile e preciso i diversi intervalli che costituiscono la struttura sulla quale il compositore fonda la sua opera.

Senza voler ripercorrere in dettaglio tutta la storia della musica, è sufficiente ricordare come la scala (ovvero l'insieme degli intervalli che sono alla base della composizione) a conosciuto una prima codifica con i greci ed i loro "modi". Sostanzialmente, la costruzione della scala diatonica era basata sul rapporto di 3/2 identifica una quinta giusta (per esempio, fra do e sol). Partendo per esempio da do, applicando il rapporto 3/2 si otteneva il sol; continuando si arrivava all'ottava superiore, ma questa volta sul re, definendo di volta in volta tutti i gradi della scala. Questi sistemi sono stati fondamentalmente utilizzati fino al XVI secolo, con gli studi di Vincenzo Galilei (il padre di Galileo!), Giuseppe Tartini e, soprattutto, Gioseffo Zarlino. Quest'ultimo in particolare formulò una costruzione della scala che viene ancora oggi ricordata come scala zarliniana.

Con un insieme di costruzioni simili (quinte ascendenti e quarte discendenti), si riesce a definire tutti i gradi della scala diatonica (do, re, mi, fa, sol, la, si). Il problema maggiore che si manifestava con questo sistema era la difficoltà di accordatura dei semitoni negli strumenti ad intonazione fissa come il clavicembalo: due note enarmoniche come do# e reb (che corrispondono allo stesso tasto nero della tastiera) si ritrovano ad avere per costruzione due frequenze leggermente differenti.

La differenza fra il semitono diatonico e quello cromatico è stata denominata "comma" e provoca tuttora molta confusione: vedremo come il grande vantaggio del sistema temperato è stato quello di "temperare" questa differenza, semplificando la vita a tutti. Non ha quindi senso parlare di "comma" con la definizione data sopra in un contesto temperato, come davanti alla tastiera del pianoforte.

Un'introduzione al sistema temperato

Per risolvere il problema dell'intonazione, che era diventato molto urgente a causa dello sviluppo del gusto armonico e delle necessità musicali dell'epoca, A. Werckmeister propose la costruzione di una scala che temperasse la differenza fra i semitoni. Si considera come il primo utilizzo musicalmente degno di nota della nuova accordatura sia stato fatto da J. S. Bach con i due libri del "Clavicembalo ben temperato", nel 1722 e nel 1744. Si tratta di opere fondamentali della pedagogia musicale moderna e, non solo, si tratta di autentici capolavori della musica di tutti i tempi.

La costruzione è relativamente semplice, partendo da un rapporto di frequenza di 2, che corrisponde all'intervallo di ottava, si divide questo intervallo in 12 sottointervalli uguali in progressione geometrica. Secondo questo principio, si definisce che la frequenza di una nota à uguale à quella del semitono precedente, moltiplicata per la radice dodicesima di due:

Parallelamente alla codifica della scala, si vide crescere la necessità di avere un suono d'intonazione fissa e sufficientemente riproducibile come riferimento, per costituire gli intervalli della scala. Questa scelta è ovviamente arbitraria e, nella pratica musicale, dal XVIII secolo in poi si è progressivamente assistito ad un lento, ma continuo, slittamento verso l'alto. Solo nel ventesimo secolo (dopo un bel po' di discussioni) si è fissata, una volta per tutte, la frequenza di riferimento fissando il La₃ a 440 Hz, con una tolleranza di più o meno 0,5 Hz.

Il motivo dello slittamento verso l'acuto era probabilmente da ricercarsi nella tendenza dei solisti e di direttori di ricercare una sonorità più tesa e brillante per accattivarsi gli umori del pubblico tendendo per esempio sempre di più le corde del violino. Questa tendenza è ovviamente deleteria sia per gli strumenti che per la voce umana, sforzata più del dovuto nel registro acuto. Si pensi al celebre fa della Regina della notte mozartiana, che oggi è cantato quasi un semitono più in su di quando l'aria è stata scritta.

Possedendo le regole matematiche di costruzione della scala, non è difficile compilare la tabella che segue, la quale mostra le frequenze in hertz della scala temperata, in una gamma di cinque ottave. In neretto sono evidenziate le frequenze corrispondenti alle sei corde di una chitarra.

Questo per quanto riguarda la teoria matematica della scala. Non vi è però da dimenticare che vi sono dei limiti in un sistema costruito a tavolino:

L'orecchio non è perfettamente lineare anche nella percezione di altezza di una nota. Vi è un'importanza considerevole anche della durata del fenomeno acustico.
La musica è un'arte: in un piano a coda accordato a regola d'arte rigorosamente ad orecchio da un accordatore professionista vi saranno sempre delle piccole differenze con i calcoli teorici. Queste differenze, lungi dall'essere degli errori, possono essere importanti per ottenere un buon risultato complessivo.
In certe correnti della musica contemporanea, il ruolo della scala è ridimensionato per ricercare nuovi effetti nell'uso di micro-intervalli e del rumore (Luigi Nono, John Cage, Luciano Berio).
Nell'esecuzione filologica di partiture di musica pre-classica, su utilizza spesso un diapason più basso (430Hz, o più spesso 415Hz, il cosiddetto diapason barocco, un semitono sotto quello moderno). In alcuni casi, quando possibile (per esempio con cori e strumenti ad arco), si ricorre anche alla scala naturale.

Una misura precisa dell'altezza, la scala dei cent

Quando si parla di intervalli che non possono essere quantificati esattamente sui gradi della scala temperata, può esser utile introdurre una suddivisione molto più fine, che ci permetta di identificare un'altezza con una precisione molto maggiore.

L'idea che è stata seguita va nella stessa direzione di quella vista per la scala temperata e consiste a dividere l'ottava (il rapporto 2 fra le frequenze) in 1200, di modo da dividere per 100 il semitono temperato. Per questa ragione, l'intervallo più piccolo di questa scala è chiamato cent ed è caratterizzato da un rapporto dato dalla radice 1200-esima di due:

La sensibilità differenziale dell'orecchio umano varia moltissimo in un campione statistico della popolazione. Fattore determinante è anche l'educazione musicale. In situazioni ideali, con un individuo musicalmente preparato e suoni puri, si può arrivare anche a 2 cent. In condizioni normali, una imprecisione di 8 cent è più che sufficiente ed un'orchestra perfettamente accordata può tranquillamente arrivare a fluttuazioni di una decina di cent, senza che questo costituisca alcun problema.

Conclusione

Con questo breve intervento, abbiamo voluto dare una prima idea della formazione matematica della scala temperata e dei sistemi utilizzati per misurare gli intervalli nella teoria musicale moderna. Naturalmente, si tratta di un campo molto complesso e ramificato. Di seguito, diamo alcuni libri particolarmente interessanti a questo proposito, di modo che il lettore interessato possa approfondire l'argomento.

Bibliografia

P. Righini - L'acustica per il musicista, Fondamenti fisici della musica, VIII edizione, Zanibon, 1994

A. Baines - Storia degli strumenti musicali, prima edizione italiana Biblioteca Universale Rizzoli, 1995